Trzynaście milionów linii kodu w języku Lean. To ponad pięć razy więcej, niż liczy cała wspólna biblioteka matematyczna, na której ten zapis stoi. Tyle zajęło przełożenie jednego dowodu na postać, którą maszyna sprawdza automatycznie. Praca trwała jedenaście dni i wykonały ją agenty Claude’a, w dużej mierze bez udziału człowieka. Anthropic ogłosił wynik 4 września 2026 roku i od razu zaznaczył, czego w nim nie ma. Nowej matematyki. Dowód jest Andrew Wilesa z 1995 roku, a nowe jest wyłącznie to, że komputer potrafi go w całości zweryfikować.
Czym jest wielkie twierdzenie Fermata i dlaczego jego dowód jest tak trudny
Około 1637 roku Pierre de Fermat zapisał uwagę na marginesie “Arytmetyki” Diofantosa. Chodziło o równanie a do n plus b do n równa się c do n. Fermat twierdził, że dla wykładnika większego niż dwa nie ma ono rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych. Dopisał, że zna zachwycający dowód, tylko margines jest za wąski.
Kolejne pokolenia szukały tego dowodu przez ponad trzysta pięćdziesiąt lat. W 1908 roku ogłoszono nagrodę stu tysięcy marek w złocie, co dziś odpowiadałoby jednemu albo dwóm milionom dolarów. W pierwszym roku wpłynęło sześćset dwadzieścia jeden błędnych rozwiązań.
Andrew Wiles przedstawił swój dowód w czerwcu 1993 roku podczas trzech wykładów. Dwa miesiące później recenzent zadał pytanie, które odsłoniło lukę. Wiles naprawiał ją rok, najpierw sam, potem z Richardem Taylorem, i był bliski porzucenia projektu. Poprawiona wersja ukazała się w maju 1995 roku i liczyła sto dwadzieścia dziewięć stron.
Na czym polega formalizacja i po co się to robi
Formalizacja to przepisanie dowodu w języku, który rozumie asystent dowodzenia, na przykład Lean. Program sprawdza wtedy logikę krok po kroku, tak jak kalkulator sprawdza rachunek. Kłopot leży po stronie człowieka, bo dowód pisany dla ludzi pomija wszystko, co oczywiste, a Lean musi zobaczyć każdy krok.
Skala tej pracy jest zwykle liczona w latach. Sam plan formalizacji, którym posługuje się społeczność matematyczna, liczy osiemdziesiąt sześć stron i opisuje dopiero pierwszą fazę. Wieloletnią akcję zbiorową rozpoczął w 2024 roku Kevin Buzzard z Imperial College London. Nikt nie zakładał, że skończy się tak szybko. Na mniejszą skalę tę drogę przechodziły wcześniej inne modele. Pisaliśmy o tym przy formalizacjach w Lean od OpenAI.
Powód, dla którego to w ogóle robimy, jest praktyczny. Sprawdzenie skomplikowanego dowodu przez ludzi potrafi trwać latami. Bywa też, że kończy się bez pewności. Dowód hipotezy Keplera autorstwa Thomasa Halesa spędził w recenzji cztery lata. Dwunastoosobowy panel zatrzymał się wtedy na formule “w 99 procentach pewne”.
Jak wyglądała praca Claude’a
Robota poszła równolegle. Nad dowodem pracowały dziesiątki agentów, które definiowały pojęcia, dowodziły twierdzeń pośrednich i budowały na nich kolejne. Łącznie powstało 30 300 zweryfikowanych twierdzeń, z czego 29 500 weszło do finalnego dowodu. Zużycie wyniosło około sześciu miliardów tokenów wyjściowych. Pracował na tym wewnętrzny model badawczy, opisany przez Anthropica jako z grubsza porównywalny z Claude Fable 5.1.
Wkład człowieka był zaskakująco mały i firma podaje na to dosłowne przykłady. Tianyi Peng jest badaczem Anthropica i prowadzi na Uniwersytecie Columbia zespół od narzędzi do formalizacji. Wtrącał od czasu do czasu wskazówki w rodzaju “jakobian jako schemat brzmi na wysoki priorytet”. Innym razem pisał: “popchnijcie twierdzenie Mazura, żeby było szybko gotowe”.
Efekt sprawdziła maszyna, nie recenzent. Dowód przeszedł weryfikację w Lean i opiera się wyłącznie na trzech standardowych aksjomatach tego systemu. Osobny komparator potwierdził przy tym zgodność samej tezy. Dowodzone zdanie jest tym samym, które jako twierdzenie Fermata zapisano w bibliotece Mathlib. Cała konstrukcja idzie za uproszczoną wersją dowodu Wilesa w ujęciu Darmona, Diamonda i Taylora.
Pierwsze podejścia się nie udały i to jest ciekawsze niż sukces
W komunikacie jest akapit, którego w relacjach zwykle się nie znajdzie. Początkowe próby zawiodły. Agenty odnosiły wprawdzie pierwsze sukcesy, ale szybko gubiły stan projektu i przestawały ze sobą skutecznie współpracować. Nieudane podejścia zostawiły po sobie około siedmiu procent linii finalnego dowodu, pomijając kod szablonowy.
Przełom przyszedł dopiero po przejściu na Prove2Me, otwartą platformę do wspólnej formalizacji zbudowaną przez zespół Penga na Columbii. Kluczowy okazał się graf zależności między twierdzeniami, z którego agenty wybierały, co dowodzić dalej. To on ograniczył gubienie kontekstu i pozwolił pracować równolegle.
Anthropic dorzuca do tego jeszcze jedno zastrzeżenie o sobie samym. Trzynaście milionów linii bierze się częściowo stąd, że Mathlib jest zwięzły i dobrze przejrzany. Sam dowód, cytując przypis, jest prawdopodobnie znacznie dłuższy, niż musi być.
Co powiedział recenzent
Dowód obejrzał Kevin Buzzard, ten sam, który prowadzi społecznościowy projekt formalizacji. Jego ocena jest jednoznacznie pozytywna i warto zwrócić uwagę, na co dokładnie kładzie nacisk. Nie chwali szybkości maszyny. Zwraca uwagę na trwałość efektu. Wytwarzane artefakty są już na tyle solidne, że da się na nich budować dalej.
Drugi jego komentarz idzie krok dalej. Jeśli automatyczna formalizacja twierdzenia tej trudności jest dziś możliwa, to zbliżamy się do automatycznej formalizacji współczesnej literatury matematycznej. To zaś oznacza narzędzia do wykrywania błędów w istniejącym dorobku. Oznacza też, jak ujmuje to Buzzard, rygorystyczne sprawdzanie matematyki wytworzonej przez modele językowe. Dziś jest to kosztowny proces prowadzony ręcznie.
Pierwsza Misja AI · Kodożercy
AI zmienia rynek pracy. Zacznij rozumieć o co chodzi.
Kurs Pierwsza Misja AI to najkrótszy kurs, po którym naprawdę rozumiesz AI, a na koniec możesz to pokazać certyfikatem. Fabuła w konwencji science fiction i gamifikacja sprawiają, że nie nudzisz się ani minuty.
Dołącz do kursantów →
Terence Tao napisał dzień wcześniej coś, co warto przeczytać obok
3 września, czyli dobę przed komunikatem Anthropica, Terence Tao opublikował sześcioczęściowy wątek o tym, co automatyzacja robi z matematyką. Nie odnosi się w nim do Fermata ani do Anthropica. Pisze o problemie globalnej regularności równań Naviera-Stokesa, czyli o jednym z otwartych problemów swojej dziedziny.
Jego argument sprowadza się do rozróżnienia celu. W matematyce czystej problemy stawia się nie dlatego, że rozpaczliwie potrzebujemy odpowiedzi. Doświadczenie pokazuje, że próby ich rozwiązania rozwijają całą dziedzinę. Przy Navierze-Stokesie powstały przy okazji słabe rozwiązania Leraya i Hopfa czy kryterium blowupu Beale’a, Kato i Majdy. Iteracja przez nieudane pomysły daje wiedzę, której samo rozwiązanie nie daje. Działa jednak tylko wtedy, gdy iterujący nie zna z góry odpowiedzi.
Stąd zdanie, które obiegło potem agregatory. Przedwczesne rozwiązanie problemu metodami czysto sztucznointeligentnymi może ten proces skazić. Dotyczy to zwłaszcza sytuacji, w której droga do rozwiązania nie jest w pełni jawna. Skutkiem bywa wtedy, pisze Tao, strata netto dla matematyki jako całości.
Gdzie ten spór naprawdę przebiega
Zestawienie obu tekstów jest naszym zabiegiem, nie polemiką ich autorów. Ten spór wraca zresztą regularnie, także przy hipotezie Gowersa. Warto jednak zobaczyć, że przebiega on w poprzek intuicji. Zarzut Tao dotyczy zamkniętego rozwiązywania otwartych problemów, a nie sprawdzania dowodów, które już istnieją. Anthropic stawia dokładnie tę samą granicę i robi to we własnym komunikacie. Prace nad hipotezą Riemanna dały nową matematykę. Tutaj, jak pisze firma, nowa jest weryfikacja.
Formalizacja odpowiada na część obawy Tao, bo pozwala rygorystycznie sprawdzić gotowy wynik. Nie ujawnia jednak całego procesu poszukiwania. Nie pokazuje odrzuconych prób, a właśnie w nich Tao widzi największą wartość poznawczą. Na tę pierwszą, węższą korzyść zwraca uwagę Buzzard, mówiąc o sprawdzaniu matematyki wytwarzanej przez modele.
Jest w tym wszystkim jeszcze jedna zbieżność, której nikt nie zaplanował. W czwartej części wątku Tao pisze o weryfikacji takiej konstrukcji w języku formalnym takim jak Lean. Może się ona okazać jednym z największych artefaktów dowodowych, jakie stworzono. Napisał to dobę przed ogłoszeniem największego dowodu w Lean w historii, zupełnie w innej sprawie.
Najczęstsze pytania
Czy Claude udowodnił wielkie twierdzenie Fermata?
Nie i Anthropic tego nie twierdzi. Dowód jest dziełem Andrew Wilesa z 1995 roku, poprawionym przy udziale Richarda Taylora. Opiera się na dorobku wielu pokoleń matematyków. Claude wykonał formalizację, czyli przełożył ten dowód na język Lean tak, żeby maszyna mogła sprawdzić każdy krok. To jest praca weryfikacyjna, nie odkrywcza, i właśnie dlatego jest istotna. Pierwszy raz dowód tej klasy trudności ma postać sprawdzalną automatycznie.
Czy trzeba mieć zasoby Anthropica, żeby coś takiego zrobić?
Niekoniecznie, i firma podaje na to konkretny przykład. Kilku badaczy przeprowadziło osobny eksperyment na trzech prywatnych abonamentach Claude Max. Współpracując przez tę samą platformę Prove2Me, agenty sformalizowały twierdzenie Winogradowa o trzech liczbach pierwszych w trzy dni. Twierdzenie Fermata pochłonęło ogromną liczbę tokenów. Mniejsze rzeczy dają się jednak zrobić na zwykłej subskrypcji, jeśli ma się dobre rusztowanie.
Podsumowanie
Trzynaście milionów linii Lean przy 129 stronach oryginalnego dowodu pokazuje, ile ukrytych kroków mieści tekst pisany dla ludzi. W relacjach zostaje z tego zwykle tempo, choć ciężar pracy leżał gdzie indziej. Widać też, dlaczego sprawdzanie takich prac zajmowało dotąd lata. Anthropic sam przyznaje, że jego zapis jest prawdopodobnie znacznie dłuższy, niż musi być. Rekord objętości nie jest więc powodem do dumy. Praktyczny wniosek wskazuje recenzent. Jeśli maszyna umie sformalizować dowód tej trudności, da się w ten sposób sprawdzać bieżącą literaturę, w tym matematykę wytwarzaną przez same modele. Pytanie, które stawia Tao, zostaje przy tym otwarte, bo dotyczy zupełnie innego etapu pracy niż ten.
Newsletter · DevstockAcademy & Kodożercy
Bądź na bieżąco ze światem IT, AI i automatyzacji
Co wtorek: newsy z branży, praktyczne tipy i narzędzia które warto znać. Zero spamu.
